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E-Medium
Differentialgleichung
Verfasser: Tautkus, Rolf
Jahr: 2016
Mediengruppe: E-Book
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Inhalt
Differentialgleichungen finden in vielen Disziplinen Anwendung - neben Physik und Ingenieurwissenschaften z. B. auch in der Medizin, Chemie und Geographie. Die Kursabschnitte 1-4 sind f³r Studenten, Wissenschaftler und Interessierte verschiedener Fachbereiche konzipiert. Die weiterf³hrenden Kapitel mit Beispielen aus der Physik richten sich v. a. an Naturwissenschaftler und Ingenieure. In diesem Kurs werden Differentialgleichungen behandelt, die eine Variable enthalten und sich mit analytischen Methoden bearbeiten lassen. Der Fokus liegt dabei nicht auf der mathematischen Theorie - es wird vielmehr gro¯er Wert auf die Anwendung der Verfahren gelegt. Die vorgestellten Methoden f³hren im Allgemeinen auf explizit darstellbare L÷sungen. Obwohl dadurch die Frage nach der eindeutigen L÷sbarkeit von Differentialgleichungen im Hinblick auf gegebene Anfangswertprobleme beantwortet ist, wird auf die grundsõtzliche Problematik hingewiesen. Sie ergibt sich vor allem f³r numerische Verfahren und wird mit dem Eindeutigkeitssatz von Picard- Lindel÷f beantwortet. Als eines der wichtigsten L÷sungsverfahren wird die "Trennung der Variablen" besprochen, das sich auf separierbare Differentialgleichungen anwenden lõsst. Des Weiteren sind insbesondere lineare Differentialgleichungen Gegenstand der Vorlesung. Mit Hilfe des Superpositionsprinzips f³hren Verfahren wie der " Ansatz vom Typ der rechten Seite" oder die "Variation der Konstanten" auf die L÷sung der Gleichung. Die Methoden werden f³r Differentialgleichungen 1. Ordnung vorgestellt und spõter auf Gleichungen h÷herer Ordnung erweitert. Eine Reihe hõufig auftretender spezieller Differentialgleichungen sind: die exakte Differentialgleichung, die Bernoulli'sche und die Riccati'sche Differentialgleichung. Es wird gezeigt, dass man sie auf lineare Differentialgleichungen zur³ckf³hren kann. Als letztes Verfahren wird der Potenzreihenansatz vorgestellt. Die L÷sungsfunktion wird in eine Taylorreihe entwickelt, und die Reihenglieder schrittweise ³ber die Differentialgleichung bestimmt. Dieses Verfahren greift immer dann, wenn alle anderen analytischen Verfahren nicht zum Erfolg f³hren. Auf diese Weise erhõlt man eine Nõherungsl÷sung ³ber ein festgelegtes Intervall. Eine Abschõtzung des Fehlers schlie¯t sich an. Diese wird durchgef³hrt, wenn man die Nõherung anstelle der exakten L÷sung verwendet. F³r diesen Kurs werden gr³ndliche Kenntnisse der Differential- und Integralrechung vorausgesetzt, wie sie bis zum Abitur vermittelt werden. Dar³ber hinaus sind Grundkenntnisse ³ber komplexe Zahlen und Lineare Algebra von Vorteil.
Details
Verfasser: Tautkus, Rolf
Jahr: 2016
E-Medium: content sample
Beschreibung: 7:51 h
Sprache: Deutsch
Mediengruppe: E-Book

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